振幅と位相の減衰チャネルを組み合わせたKraus演算子を見つける


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私はSurface code with decoherence: An analysis of three superconducting architecturesの論文を検討していますが、著者が振幅と位相の減衰の組み合わせチャネルと呼ぶものを 作成者がどのように取得するのかについて疑問があります。セクションIIAでは、デコヒーレンスを最初に説明するために、著者らは振幅減衰チャネルとディフェージングチャネルについてKrausオペレーターと議論し、その後、それらの効果を組み合わせます。彼らは、結合されたチャネルは、振幅の減衰とデフェージングのパラメーターに応じて3つのクラウス演算子によって表されると述べています。

著者がそのような声明を説明したり参照したりしていないため、このようなKrausオペレーターが個々のチャネルを説明するKrausオペレーターからどのように取得されるのか不思議に思っています。私の最初のアプローチはチャネルの順次的な組み合わせを検討することでしたが、私の結果は成功しません(おそらく、チャネルの同時アクションが量子情報に対する順次アクションと同等ではないためです)。

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You can obtain the Kraus operators of the combined channel by taking products of the Kraus operators of the individual channels (using the notation from the paper you linked):

Amplitude damping:

$E^{AD}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p_{AD}} \end{bmatrix}$, $E^{AD}_2 = \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{p_{AD}} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Phase damping:

$E^{PD}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p_{PD}} \end{bmatrix}$, $E^{PD}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{p_{PD}} \end{bmatrix}$

Combined:

$E^{D}_1 = E^{PD}_1 E^{AD}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p_{AD}}\sqrt{1-p_{PD}} \end{bmatrix} $

$E^{D}_2 = E^{PD}_1 E^{AD}_2 = \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{p_{AD}} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $

$E^{D}_3 = E^{PD}_2 E^{AD}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p_{AD}}\sqrt{p_{PD}} \end{bmatrix} $

This is the Kraus set given in the paper you linked. There is a fourth possible combination, which is

$E^{D}_4 = E^{PD}_2 E^{AD}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $

which is the null channel. Since we first destroy any $|1\rangle$ states, the phase damping channel only has $|0\rangle$ states to act on, which are sent to 0.

The order in which you apply amplitude and phase damping does not actually matter, that is

$\mathcal{E}_{AD} \circ \mathcal{E}_{PD} (\rho) = \mathcal{E}_{PD} \circ \mathcal{E}_{AD} (\rho)$.

Thus, you could swap the products in the Kraus terms defined above, which would result in a different Kraus set (now with four non-null elements), which would also describe the channel (the Kraus representation is not unique).


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The other answer already uses this, but just to make the general fact more explicit: if $\mathcal E=\mathcal E_A\circ\mathcal E_B$, that is, $\mathcal E(\rho)=\mathcal E_A(\mathcal E_B(\rho))$, and the Kraus decompositions of the single channels read $$\mathcal E_A(\rho)=\sum_a A_a\rho A_a^\dagger, \qquad \mathcal E_B(\rho)=\sum_b B_b\rho B_b^\dagger,$$ then $\mathcal E(\rho)=\sum_{a,b} C_{ab}\rho C_{ab}^\dagger$, where $C_{ab}\equiv A_a B_b$ are the Kraus operators of the combined channel.