ヒルベルト・シュミット確率は、一般的なランク2の2キュービット(「疑似純粋」)密度行列が分離可能であることを単にゼロにしていますか?


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多面的な証拠は、正式な証明ではまだ提示されていませんが、ジェネリック(フルランク/ランク4)の2キュービット密度行列が分離可能であるヒルベルトシュミット確率が $ \ frac {8} {33} $ MasterLovas-AndaiFormula

この命題を前提として、Szarek、Bengtsson、Zyczkowski structure of the body of states with positive partial transposeの興味深い2005年の分析から、一般的な境界(ランク3)の2キュービット密度行列が分離可能であるというヒルベルト・シュミットの確率/ PPTは、半分、つまり $ \ frac {4} {33}$

では、このような一般的なランク2の2キュービット密度行列については何が言えるでしょうか。(関連する分離可能性はゼロであると思います-私の現在の数値分析が示しているように見える-しかし、そのような命題を正式に示す方法があると推測しています。おそらく、この影響に関するいくつかの文献があります。指示していただければ幸いです。)

もちろん、より高次元のキュービットキュートリット、2キュートリット、...状態(Szarek、Bengtsson、Zyczkowski境界状態PPT結果の状態)まだ保持されます)。一般的な(フルランク)キュービットキュートリット状態のヒルベルトシュミット分離可能性/ PPT確率は、 $ \ frac {27} {1000} $ であると推測されています。NumericalExact(そこでも、一般的な2クォート状態のヒルベルトシュミットPPT確率は $ \ frac {323} {3161088} = \ frac {17 \ cdot 19} {2 ^ {10} \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 ^ 3} \約0.000102180009 $ または $ \ frac {11} {107653} = \ frac {11} {7 ^ 2 \ cdot 13 ^ 3} \約0.000102180153 $ 。)

ランク2の2キュービット状態は、Horia Scutaruによってかなり深く研究されています「2つのキュービットの疑似純粋状態について」。ルーマニアアカデミーの議事録。シリーズA.数学、物理学、技術科学、情報科学5.2(2004):136-140。pseudo-pure state article(私は彼にこの質問を送ることを検討しましたが、彼は亡くなっていることがわかりました。)

2005年の論文qubit-qutrit ratiosで、ランク6とランク4のキュービットキュートリット状態のヒルベルト・シュミット分離可能確率の比率について、34に近い値(33.9982)が報告されたことも指摘しておきます。これは、更新された分析のさらなるトピックになると思われます。

2001年の論文LowRankSeparableの定理1、RB Lockhartの「低ランクの分離可能な状態は、低ランク状態のセット内のメジャーゼロのセット」は、ここで発生したタイプの一般的なケースを扱いますが、ランク1(純粋)2キュービット状態にのみ適用され、そのような州をランク2にするため、ここに出された質問をそのままにしても、まだ明らかに答えられていません。

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Apparently, the specific question posed here has been answered in the affirmative--at least (first, we point out) through numerical means--by Arsen Khvedelidze and Ilya Rogojin in Table 2 of their 2018 paper, "On the Generation of Random Ensembles of Qubits and Qutrits: Computing Separability Probabilities for Fixed Rank States" ArsenIlya

They report a Hilbert-Schmidt separability probability of zero for the rank-2 two-qubit states--based on the complex Ginibre-ensemble randomization procedures they detail in the paper. Also, in Table 1, they give a full-rank two-qubit HS separability probability of 0.2424, agreeing to the given number of places with the well-supported, presumed exact value of $\frac{8}{33} \approx 0.24242424...$.

In Table 2, however, they give for the rank-3 two-qubit states, a HS separability probability of 0.1652, which seems in rather substantial disagreement with a value of $\frac{4}{33} \approx 0.121212...$, based on the application of the noted theorem of Szarek, Bengtsson and Zyczkowski to the $\frac{8}{33}$ assertion.


A formalized theorem regarding this rank-2 two-qubit question would still seem of significant interest. Khvedelidze and Rogojin state that their result is consistent with the assertions in RuskaiWerner. Upon the first submission of this answer, I had not perceived that the specific question posed here was fully addressed there.

However, I now see that their

$\bf{Corollary}$ ${4}$. If a state $\gamma_{AB}$ on $\bf{C}_2 \otimes \bf{C}_2$ has rank 2, then $γ_{AB}$ is almost surely entangled

leads to an affirmative answer to the question put.

Also, to similar effect, their

$\bf{Theorem}$ $\bf{9}$. Assume $d_A \geq 􏰅d_B \geq 􏰅2$. If a state $\gamma_{AB}$ on $M_{d_A} \otimes M_{d_B}$ has rank $\gamma_{AB} 􏰄\leq d_{A}$, then $\gamma_{AB}$ is almost surely entangled.