量子最小相対エントロピーの定義


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John Watrousのlecturesでは、量子最小相対エントロピーを次のように定義しています。

$$ D _ {\ min}(\ rho \ | \ sigma)=-\ log(F(\ rho、\ sigma)^ 2)、$$

$ F(\ rho、\ sigma)= tr(\ sqrt {\ rho \ sigma})$ です。ここでは、thisの質問と回答を使用して定義を単純化していますが、リンクされた質問は忠実度の異なる定義を使用していることに注意してください(二乗と二乗ではない)。

一方、この量を導入した初期の論文の1つ(this paperの定義2を参照)では、次のように定義されています。

$$ D _ {\ min}(\ rho \ | \ sigma)=-\ log(tr(\ Pi_ \ rho \ sigma))、$$

$ \ Pi_ \ rho $ は、 $ \ rho $ のサポートへのプロジェクターです。サポートを変更せずに $ \ rho $ を変更できるため、これらの定義が同等かどうかは明らかではありません。

2つの定義はどのように相互に関連していますか?

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As @rnva points out these are not the same quantities. To give some clarity as to why they are both referred to as $D_{\min}$ it is best to look at the as limiting cases of $\alpha$-R'enyi divergences.

First, we have the sandwiched divergences which for $\alpha \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ are defined as $$ \widetilde{D}_{\alpha}(\rho\|\sigma) = \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathrm{Tr}\left[ (\sigma^{\frac{1-\alpha}{2\alpha}} \rho \sigma^{\frac{1-\alpha}{2\alpha}} )^\alpha \right]. $$ These divergences are monotonically increasing in $\alpha$ and satisfy the data processing inequality (DPI) for all $\alpha \geq 1/2$. Thus the smallest divergence in this family satisfying the DPI is $$ \widetilde{D}_{\min}(\rho \| \sigma) = \widetilde{D}_{1/2}(\rho \|\sigma) = - \log \mathrm{Tr}[\sqrt{\rho} \sqrt{\sigma}]^2. $$

Another well studied family of divergences are the so-called Petz divergences defined for $\alpha \in (0,1) \cup (1, \infty)$ to be $$ \overline{D}_{\alpha}(\rho \| \sigma) = \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathrm{Tr}[\rho^{\alpha} \sigma^{1-\alpha}]. $$ This family satisfies the DPI for $\alpha \in (0,1) \cup(1,2]$ and they are also monotonically increasing in $\alpha$. Thus, the smallest divergence satisfying the DPI in this family is $$ \overline{D}_{\min}(\rho \| \sigma) = \lim_{\alpha \to 0^+} \overline{D}_{\alpha}(\rho \|\sigma) = -\log \mathrm{Tr}[\Pi_\rho \sigma ]. $$