振幅を2乗した状態または任意のパワーに変換する方法は?


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不明な状態 $ | \ psi \ rangle = \ sum_i \ alpha_i | {\ lambda_i} \ rangle $ があるとすると、変換できる可能性がありますそれを $ | \ psi \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {\ sum_i | \ alpha_i | ^ {2r}}}に入れます\ sum_i \ alpha_i ^ r | {\ lambda_i} \ rangle $

測定値のある1キュビットを考えています。測定値がない場合はそれよりも優れています。

入力状態が $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ であり、2つのコピーで準備できるとします。補助キュービットは、状態 $ | 0 \ rangle $ で提供されます。

$(\ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle)(\ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle)| 0 \ rangle =\ alpha ^ 2 | 000 \ rangle + \ alpha \ beta | 010 \ rangle + \ beta \ alpha | 100 \ rangle + \ beta ^ 2 | 110 \ rangle。$

2つのCNOTゲートが連続している場合、補助キュビットはターゲットキュビットです。

$\ alpha ^ 2 | 000 \ rangle + \ alpha \ beta | 011 \ rangle + \ beta \ alpha | 101 \ rangle + \ beta ^ 2 | 110 \ rangle。$

0を測定した場合、これに続いて補助量子ビットの測定が行われ、最初の2つの量子ビットの状態は $\ frac {\ alpha ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4 + | \ beta | ^ 4}} | 000 \ rangle + \ frac {\ beta ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4 +| \ beta | ^ 4}} | 110 \ rangle。$

2番目の量子ビットにCNOTゲートを使用し、最初の量子ビットを制御として使用する

$\ frac {\ alpha ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4 + | \ beta | ^ 4}} | 00 \ rangle + \ frac {\ beta ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4 +| \ beta | ^ 4}} | 10 \ rangle =(\ frac {\ alpha ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4 + | \ beta | ^ 4}} | 0 \ rangle + \ frac {\ beta ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4+ | \ beta | ^ 4}} | 1 \ rangle)| 0 \ rangle$

最初のキュービットの状態は

$\ frac {\ alpha ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4 + | \ beta | ^ 4}} | 0 \ rangle + \ frac {\ beta ^ 2} {\ sqrt {| \ alpha | ^ 4 +| \ beta | ^ 4}} | 1 \ rangle$

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ただし、補助キビットでの測定は厄介です。任意の数のキュービットを測定せずに、電力供給された振幅状態を取得できますか?

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As noted by Mateus in the comments, the transformation you are looking for is non-linear. This cannot be done with any matrix transformation. Thus, you will need more qubits, and your solution shows two (+1 scratch qubit) is sufficient. I guess you might wonder if a two-qubit unitary can do it, though?

The problem is that the transformation you want to implement depends on the input state. You can't do this (unitarily) even with extra qubits. I believe the most general result forbidding such requirements is the No-Programming Theorem.

Also note at, as $r\to\infty$, the transformation becomes a projection onto the subspace spanned by the states with highest modulus. You do are doing something like a weak measurement when $r$ is finite.

Nearly final observation: you mention you want $|\psi\rangle$ to be "unknown". You should be cautious taking your solution (as you generalise requiring more copies of $|\psi\rangle$) farther without thinking about no-cloning or more subtle resource counting.

Last thing. A coherent version of something like what you might be looking for is Amplitude Amplification.