チャネルは$ \ Phi(X)= \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal Z} [U(X \ otimes \ sigma)U ^ \ dagger] $として任意の状態$ \ sigma $として記述できますか?


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すべてのCPTPマップ $ \ Phi:\ mathcal X \ to \ mathcal Y $ は、アイソメ図 $ U:\ mathcal X \ otimes \ mathcal Z \ to \ mathcal Y \ otimes \ mathcal Z $ 、として $$ \ Phi(X)= \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal Z} [U(X \ otimes E_ {0,0})U ^ \ dagger]、\ quad\ text {where} \ quad E_ {a、b} \ equiv \ lvert a \ rangle \!\ langle b \ rvert。\ tag1 $$ これを表示するのは非常に簡単です。クラウスの表現から。 $ A_a:\ mathcal X \ to \ mathcal Y $ $ \ Phi $ のKraus演算子である場合、その後 $$ U _ {\ alpha a、i0} \ equiv \ langle \ alpha、a \ rvert U \ lvert i、0 \ rangle = \ langle \ alpha \ rvert A_a \ lvert i \ラングル\ equiv(A_a)_ {\ alpha、0}。\ tag2 $$ もちろん、 $ E_ {0,0} $ を、結果に影響を与えることなく、(1)の純粋な状態に置き換えることができます。

これは、任意のチャネル $ \ Phi $ と任意の純粋な状態 $ \ lvert \ psi \ rangle \\ mathcal Z $ では、 $ \ Phi $ を(1)のように表すことができます( $ E_{0,0} \ to \ lvert \ psi \ rangle $ )。ただし、 $ \ sigma $を使用した $ E_ {0,0} \ to \ sigma $ のより一般的なケースについてはどうでしょうか。純粋ではありませんか?

このケースを分析するには、次のように書かれたチャネルを考えます。 $$ \ Phi(X)= \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal Z} [U(X \ otimes \ sigma)U ^ \ dagger] \ tag3 $$ 一部の州では $ \ sigma = \ sum_k p_k E_ {k、k} \ in \ mathrm {Lin}(\ mathcal Z)$ $ \ mathcal Z $ )。この場合、クラウス演算子との関係は次のようになります。 $$ \ Phi(X)_ {\ alpha、\ beta} = \ sum _ {\ ell k ij} p_ \ ell U _ {\ alpha \ ell、ik} X_ {ij}U ^ * _ {\ beta \ ell、jk}= \ sum _ {\ ell、k}(A _ {\ ell、k} XA _ {\ ell、k} ^ \ dagger)_ {\ alpha \ beta} \ tag4 $$ $$(A _ {\ ell、k})_ {\ alpha、i} \ equiv \ sqrt {p_ \ ell} U _ {\ alpha \ ell、ik}、\ qquad A _ {\ ell、k} = \ sqrt {p_ \ ell}(I \ otimes \ langle \ ell \ rvert)U(I \ otimes \ lvert k \ rangle)。\ tag5 $$

今は違いがあります。Kraus演算子の数は、 $ \ sigma $ のランク(インデックスがまたがる要素の数を決定する)よりも大きくなければなりません< $ A _ {\ ell、k} $ のspan class = "math-container"> $ k $ )。実際、これと同じ事実を述べる別の方法は、(3)の $ \ Phi $ が複数のチャネルの凸状の組み合わせであることに気づくことです。 $$ \ Phi(X)= \ sum_k p_k \ Phi_k(X)、\ qquad \ Phi_k(X)\ equiv \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal Z} [U(X \ otimes E_ {k、k})U ^ \ dagger]。\ tag 6 $$


これにより、次の質問が表示されます: $ \ Phi $ は、(3)のように記述できますか?"> $ \ sigma $ ?より正確には、 $ \ Phi $ $ \ sigma $ が与えられた場合、常にアイソメ図を見つけることができます $ U $ (3)が成り立つようなものですか?

質問は、 $ \ sigma $ が純粋でない場合(3)が $につながるため、\ Phi $ は、(6)に示すように、他のマップの凸状の組み合わせです。他のマップの凸状の組み合わせとして書くことができないという意味で、「極値」のマップがあるはずだと思います。そして、そのようなマップは、純粋ではない $ \ sigma $ の(3)として書き込み可能であってはなりません。

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No, this is not always possible.

A counterexample is given by $\sigma=I/d'$ and $\Phi(X)=\mathrm{tr}(X)|0\rangle\langle0|$.

To see this, note that for $X=I/d$, \begin{align} 2(1-1/d) & = \|\,|0\rangle\langle0|-I/d\|_1 \\ &= \|\Phi(X)-I/d\|_1 \\ &\le \left\|U\left(X\otimes \frac{I}{d'}\right)U^\dagger-U\left(\frac{I}{d}\otimes\frac{I}{d'}\right)U^\dagger\right\|_1 \\ &\le \left\|X\otimes \frac{I}{d'}-\frac{I}{d}\otimes\frac{I}{d'}\right\|_1 \\ & =\left\|X-\frac{I}{d}\right\|_1 \\ &=0 \end{align} where in the 2nd step, I have used that the partial trace is contractive with respect to the trace norm (as it is a CP map), and in the fourth that $\|A\otimes I/d'\|_1 = \|A\|_1$.

This is clearly a contradiction and thus shows that such a representation for the chosen channel $\Phi$ cannot exist.


As always, let me take the opportunity to advertise my list of canonical (counter)examples for quantum channels.