N&Cにおけるシューマッハの圧縮の説明に関して混乱


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N&Cの547ページ、 $ | \ psi_ {0} \ rangle = | 0 \ rangle $ およびの場合$ | \ psi_ {1} \ rangle =(| 0 \ rangle + | 1 \ rangle)/ \ sqrt {2} $ および $ | \ tilde {0}\ rangle = \ cos(\ pi / 8)| 0 \ rangle + \ sin(\ pi / 8)| 1 \ rangle $ および $ | \ tilde {1}\ rangle =-\ sin(\ pi / 8)| 0 \ rangle + \ cos(\ pi / 8)| 1 \ rangle $ 、その $ | \ langle\ tilde {0} | \ psi_ {k} \ rangle |= \ cos(\ pi / 8)$ および $ | \ langle \ tilde {1} | \ psi_ {k} \ rangle |= \ sin(\ pi / 8)$ for k = $ \ {0,1 \} $ 。これがどちらの場合にも当てはまるかはわかりません。

$ \ cos(\ pi / 8)$ $ \ cos(\ pi / 8)/\ sqrt {2} + \ sin(\ pi / 8)\ sqrt {2} $ $ | \ langle \ tilde {0} | \ psi_ {k}\ rangle | $ および $ | \ langle \ tilde {1} | \ psi_ {k} \ rangle | $ の場合、 $-\ sin(\ pi / 8)$ および $-\ sin(\ pi / 8)/ \ sqrt {2} + \ cos(\ pi / 8)/ \ sqrt {2} $

内積は、これらを $ | \ psi_ {0} \ rangle $ に対してのみ生成します。これはタイプミスですか?彼らが言う意味は、内積 $ | \ langle \ tilde {0} | \ psi_ {k} \ rangle | $ $ | \ langle \ tilde {1} | \ psi_ {k} \ rangle | $ よりもはるかに大きい。ただし、この場合でも、 $ | \ langle \ tilde {1} | \ psi_ {k} \ rangle |の場合はそれよりも大きいため、完全に真実ではありません。$

コンテキストについては、 $ | \ tilde {0} \ rangle $ および $ | \ tilde {1} \ rangle$ は、 $ | \ psi_ {0} \ rangle $ $ | \ psi_ {1} \ rangle $ 。それぞれの確率は半分です。

ここで何が欠けていますか?シンプルなインナー製品を使用する必要があるようですが、結果が得られません。

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You're missing a bit of algebraic trickery. Remember that $\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)$. Thus, $$ \cos(\pi/8)/\sqrt{2}+\sin(\pi/8)/\sqrt{2}=\cos(\pi/8)\cos(\pi/4)+\sin(\pi/8)\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4-\pi/8)=\cos(\pi/8) $$ by the double angle formula.

Also, be careful of signs. It might be an amplitude is $\pm\sin(\pi/8)$, but when you take the modulus, that becomes $\sin(\pi/8)$.